Las 17 ecuaciones que cambiaron el mundo

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A principios de 2012, el matemático Ian Stewart, luego de una profunda investigación, desarrolló un excelente libro titulado “17 ecuaciones que cambiaron el mundo”. Este libro describe las ecuaciones más cruciales de todos los tiempos, y las describe no en un contexto técnico, sino en un contexto humano.

Preguntamos al profesor Stewart por qué decidió escribir este libro:

 “Las ecuaciones definitivamente pueden ser aburridas, y pueden parecer complicadas, pero eso es porque generalmente se presentan de una manera aburrida y complicada. Tengo una ventaja sobre los profesores de matemáticas en los colegios: No estoy intentando enseñar cómo hacer estas ecuaciones. Puedes apreciar la belleza y la importancia de estas ecuaciones sin saber cómo resolverlas… El objetivo es ubicarlas en su contexto cultural y humano, y sacar el velo sobre sus consecuencias escondidas en la historia. Las ecuaciones son una parte vital de nuestra cultura. El trasfondo de estas ecuaciones, las personas que las descubrieron o inventaron, y los periodos en que vivieron, son fascinantes.”

Esto es particularmente relevante para todos los que fueron afectados por la crisis económica de Estados Unidos.

La cual fue facilitada por la ecuación Black Scholes, una ecuación para valorizar derivados financieros y número 17 en esta lista.

De un intercambio por correo electrónico con el profesor Stewart:

 “En términos matemáticos, es, de hecho, una ecuación simple. Lo que causó problemas fue la complejidad del sistema que la matemática intentaba modelar… No necesitas ser un científico espacial para entender que hacer un préstamo de cientos de billones de dólares a personas que no tenían posibilidad de pagar de vuelta no es una buena idea…”

Las personas tomaron muy en serio una ecuación teórica, excedieron sus supuestos, la usaron para justificar sus malas decisiones y para construir una casa de trillones de dólares sobre ella. Esto hizo que la crisis fuera inevitable:

 “Creo que la crisis se convirtió en algo inevitable una vez que los instrumentos financieros utilizados en cantidades gigantescas se convirtieron en algo tan complejo que nadie podía comprender ni el valor que expresaban ni los riesgos que implicaban. Cuando los mercados intercambian bienes por dinero real, los excesos pueden crecer solo hasta los límites de lo que está realmente ahí. Cuando intercambian bienes virtuales (derivados) por dinero virtual (apalancamiento), no hay un límite real, por lo que los mercados pueden irse volando a las nubes.”


El teorema de Pitágoras

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Qué quiere decir: El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.   

Historia: Aunque es atribuido a Pitágoras, no hay certeza que él fuera el primero en demostrarlo. La primera prueba real vino de Euclides, y es posible que el concepto fuera conocido por los babilonios 1.000 años antes de Pitágoras.

Importancia: La ecuación está al centro de mucho en la geometría, está conectada con el álgebra y es el fundamento de la trigonometría. Sin ella,  realizar la navegación, la topografía y la cartografía de forma precisa sería imposible.

Uso moderno: La triangulación se usa hoy en día para determinar con precisión una ubicación relativa para la navegación por GPS.


El logaritmo y sus identidades

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Qué quiere decir: Puedes multiplicar números al añadir números relacionados.

Historia: El concepto inicial fue descubierto por el barón escocés de Merchiston John Napier, en un esfuerzo por simplificar y agilizar la multiplicación de números grandes, que era entonces tedioso y tomaba mucho tiempo. Luego fue refinado por Henry Briggs, para facilitar el cálculo y hacer más útil el uso de tablas de referencia.

Importancia: Los logaritmos fueron revolucionarios, agilizando y precisando los cálculos de ingenieros y astrónomos. Esto es ahora menos importante con la llegada de los computadores, pero aún son esenciales para los científicos.

Uso moderno: Los logaritmos aún conforman nuestra comprensión del decaimiento radioactivo.


El teorema fundamental del cálculo

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Qué quiere decir: Permite el cálculo instantáneo de una tasa de cambio.

Historia: El cálculo, como lo conocemos hoy en día, fue descrito a finales del siglo 17 por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Hubo un largo debate sobre plagio y prioridad, que puede que nunca sea resuelto. Hoy usamos actos de lógica y parte de las anotaciones de ambos matemáticos.

Importancia: De acuerdo a Stewart “más que cualquier otra técnica matemática, ha creado el mundo moderno”. El cálculo es esencial para comprender la medición de sólidos, curvas y áreas. Es el fundamento de muchas leyes naturales y el origen de las ecuaciones diferenciales.

Uso moderno: Cualquier problema matemático donde se necesita una solución óptima. Esencial para la medicina, la economía y la informática.


Ley de gravitación universal de Newton

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Qué quiere decir: Calcula la fuerza de gravedad entre dos objetos.

Historia: Isaac Newton derivó sus leyes con la ayuda de trabajos anteriores de Johannes Kepler. También usó, y posiblemente plagió, el trabajo de Robert Hooke.

Importancia: Utilizó técnicas del cálculo para describir el funcionamiento del mundo. Aunque después fue suplantada por la teoría de la relatividad de Einstein, aún es esencial para la descripción práctica de la interacción de los objetos entre sí. La usamos hasta el día de hoy para diseñar la órbita de satélites y sondas.

Valor: Cuando comienzan las misiones espaciales, esta ecuación es utilizada para encontrar “tubos” o sendas gravitacionales óptimas, de forma de utilizar la energía eficientemente. También hace posible la televisión por satélite.


El origen de los números complejos

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Qué quiere decir: El cuadrado de un número imaginario es un número negativo.

Historia: Los números imaginarios fueron originalmente propuestos por el famoso matemático/jugador Girolamo Cardano, luego desarrollados por Rafael Bombelli y John Wallis. Aún existían como un peculiar, pero esencial, problema en la matemática hasta que William Hamilton hizo esta definición.

Importancia: De acuerdo a Stewart “…la mayoría de la tecnología moderna, desde la luz eléctrica hasta las cámaras digitales no podrían haber sido inventadas sin ellos”. Los números imaginarios permiten análisis complejos, de forma que los ingenieros pueden resolver problemas prácticos trabajando en el plano.

Uso moderno: Utilizados ampliamente en la ingeniería eléctrica y la matemática teórica compleja.


Fórmula de Euler para poliedros

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Qué quiere decir: Describe la forma o estructura de un espacio sin importar su alineamiento.

Historia: La relación fue descrita por primera vez por Descartes, luego refinada, demostrada y publicada por Leonhard Euler en 1750.

Importancia: Fundamental para el desarrollo de la topografía, que se extiende a la geometría de cualquier superficie continua. Herramienta esencial para ingenieros y biólogos.

Uso moderno: La topología se utiliza para comprender el comportamiento y funcionamiento del ADN.


Distribución normal

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Qué quiere decir: Define la distribución normal estándar, una curva en forma de campana, en la que la probabilidad de observar un punto es mayor cerca de la media y disminuye rápidamente al alejarse.

Historia: El trabajo inicial fue realizado por Blaise Pascal, pero la distribución vino a ser con Bernoulli. La curva de campana como la conocemos hoy viene del matemático belga Adolphe Quetelet.

Importancia: La ecuación es el fundamento de la estadística moderna. La ciencia y las ciencias sociales no existirían en sus formas actuales sin ella.

Uso moderno: Utilizada para determinar si las drogas son suficientemente efectivas en relación a las consecuencias negativas en ensayos clínicos.


Ecuación de onda

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Qué quiere decir: Una ecuación diferencial que describe el comportamiento de las ondas, originalmente el comportamiento de una cuerda de violín en vibración.

Historia: Los matemáticos Daniel Bournoulli y Jean D’ Alembert fueron los primeros en describir esta relación en el siglo 18, aunque de maneras un poco distintas.

Importancia: El comportamiento de la onda generaliza cómo funciona el sonido, cómo ocurren los terremotos y cómo se comporta el océano.

Uso moderno: Las compañías petroleras detonan explosivos y luego leen datos de las ondas de sonidos resultantes para predecir formaciones geológicas.


Transformada de Fourier

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Qué quiere decir: Describe patrones en el tiempo como una función de frecuencia.

Historia: Joseph Fourier descubrió esta ecuación, la que se extendió de su famosa ecuación del calor, y la previamente descrita ecuación de onda.

Importancia: La ecuación permite romper, limpiar y analizar patrones complejos. Esto es esencial en muchos tipos de análisis de señales.

Uso moderno: Utilizada para comprimir información para el formato de imagen JPEG y descubrir la estructura de moléculas.


Ecuaciones de Navier-Stokes

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Qué quiere decir: El lado izquierdo es la aceleración de una pequeña cantidad de fluido, el lado derecho indica la fuerza que actúa sobre él.  

Historia: Leonhard Euler realizó el primer intento de modelar el movimiento de fluido. El ingeniero francés Clause-Louis Navier y el matemático irlandés George Stokes hicieron el salto al modelo que aún se utiliza hoy.

Importancia: Una vez los computadores fueron lo suficientemente poderosos para resolver esta ecuación, se abrió un área compleja y muy útil de la física. Es particularmente útil en la fabricación de vehículos más aerodinámicos.

Uso moderno: Entre otras cosas, ha permitido la producción de los aviones de pasajeros modernos.


Ecuaciones de Maxwell

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Qué quiere decir:  Esquematiza la relación entre el campo eléctrico y el campo magnético.

Historia: Michael Faraday hizo un trabajo pionero en la conexión entre electricidad y magnetismo. James Clerk Maxwell tradujo este trabajo en ecuaciones, alterando fundamentalmente la física.

Importancia: Ayudó a predecir y asistir la comprensión de ondas electromagnéticas, facilitando la creación de mucha de la tecnología que usamos hoy.

Uso moderno: En radares, televisión y comunicaciones modernas.


Segundo principio de la termodinámica

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Qué quiere decir: La energía y el calor se disipan con el tiempo.

Historia: Sadi Carnot propuso por primera vez que la naturaleza no tiene procesos reversibles. El matemático Ludwig Boltzmann extendió la ley, y William Thomson la manifestó formalmente.

Importancia: Esencial para nuestra comprensión de la energía y el universo a través del concepto de la entropía. Nos ayuda a darnos cuenta de los límites en extraer energía del calor, y ayudó a crear un mejor motor a vapor.

Uso moderno: Ayudó a demostrar que la materia está formada por  átomos, lo que ha sido algo útil. 


Teoría de la relatividad de Einstein

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Qué quiere decir: La energía es igual a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado.

Historia: El origen menos conocido (entre los que no son físicos) de la ecuación de Einstein fue un experimento realizado por Albert Michaelson y Edward Morley, el cual demostró que la luz no se movía cómo Newton había predicho en marcos de referencia cambiantes. Einstein indagó en este resultado con sus famosos ensayos sobre la relatividad especial (1905) y la relatividad general (1915).

Importancia: Probablemente la ecuación más famosa en la historia. Cambió completamente nuestra visión sobre la materia y la realidad.

Uso moderno: Ayudó a la creación de armas nucleares, y si el GPS no la tuviera en cuenta, entregaría direcciones equivocadas por varios kilómetros.


Ecuación de Schrödinger

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Qué quiere decir: Modela la materia como una onda, y no como una partícula.

Historia: Louis-Victor de Broglie señaló la naturaleza doble de la materia en 1924. La ecuación que ven fue derivada por Erwin Schrödinger en 1927, construyendo sobre el trabajo de físicos como Wener Heisenberg.

Importancia: Revolucionó nuestra visión de la física en escalas pequeñas. La percepción que las partículas a ese escala oscilan entre estados probables fue revolucionaria.

Uso moderno: Esencial para el uso del semiconductor y el transistor, y por lo tanto, la mayoría de la tecnología computacional moderna.


Teoría de la información de Shannon

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Qué quiere decir:  Estima la cantidad de datos en una pieza de código por las probabilidades de los símbolos que lo componen.

Historia: Desarrollado por Claude Shannon, ingeniero de Bell Labs, en los años después de la Segunda Guerra Mundial.

Importancia: De acuerdo a Stewart “es la ecuación que escoltó a la era de la información”. Ya que los ingenieros dejaron de buscar códigos muy eficientes, estableció los límites que hicieron posible desde CDs hasta la comunicación digital.

Uso moderno: Prácticamente cualquier cosa que tengan que ver con la detección de errores en la codificación. ¿Alguien ha usado el internet últimamente?


Modelo logístico del crecimiento poblacional

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Qué quiere decir: Estima el cambio en una población de creaturas a través de generaciones con recursos limitados.

Historia: Robert May fue el primero en señalar que el modelo de crecimiento poblacional podría producir caos en 1975. El importante trabajo del matemático Vladimir Arnold y Stephen Smale ayudó al comprender que el caos es una consecuencia de las ecuaciones diferenciales.

Importancia: Ayudó en el desarrollo de la teoría del caos, que ha completamente cambiado nuestra comprensión de la manera en que funcionan los sistemas naturales.

Uso moderno: Utilizado para modelar terremotos y predecir el tiempo.


Modelo de Black-Scholes

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Qué quiere decir: Valoriza un derivado según la suposición de que no tiene riesgo y que no hay oportunidad de arbitraje cuando es valorizado correctamente.

Historia: Desarrollado por Fischer Black y Myron Scholes, luego expandido por Robert Merton. Los últimos dos ganaron el premio Nobel de economía en 1997 por su descubrimiento.

Importancia: Ayudó a crear el ahora multitrillonario mercado en dólares de derivados financieros. Se discute que el uso inapropiado de la formula (y sus descendientes) contribuyó a la crisis financiera. En particular, la ecuación mantiene varias suposiciones que no se observan en los mercados financieros reales.

Uso moderno: Sus variantes aún son usadas para valorizar la mayoría de los derivados, incluso después de la crisis financiera.

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